Калькулятор остатка от деления онлайн

Деление на ноль

По определению числовых множеств N,Z,Q,R,C{\displaystyle \mathbb {N} ,\mathbb {Z} ,\mathbb {Q} ,\mathbb {R} ,\mathbb {C} } деление на число 0 не определено. Частное от деления какого-либо числа, отличного от нуля, на нуль не существует, так как в этом случае никакое число не может удовлетворять определению частного. Для определения данной ситуации полагают, что результат этой операции считается «бесконечно большим» или «равным бесконечности» (положительной или отрицательной, в зависимости от знака операндов). С геометрической точки зрения выполняется аффинное расширение числовой прямой. То есть привычная последовательность вещественных чисел «сжимается» так, чтобы можно было оперировать границами этой последовательности. В качестве границ (условных) введены две абстрактные бесконечно большие величины +∞,−∞{\displaystyle +\infty ,-\infty }. С точки зрения общей топологии выполняется двухточечная компактификация числовой прямой путем добавления двух идеализированных точек (бесконечностей с противоположным знаком). Пишут:

Топологическая картинка проективного расширения числовой прямой и точки 0/0

a=±∞{\displaystyle a:0=\pm \infty }, где a≠{\displaystyle a\neq 0.}

Если произвести проективное расширение множества вещественных чисел введением идеализированной точки ∞ {\displaystyle \infty ~},которая соединяет оба конца вещественной прямой, тогда с точки зрения общей топологии будет выполнена числовой прямой путем добавления бесконечности без знака. Дополним полученное множество чисел новым элементом ⊥={\displaystyle \perp =0/0}, в результате получится R⊥∞=R∪{∞,⊥}{\displaystyle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty }=\mathbb {R} \cup \{\infty ,\perp \}}, на данной основе строится алгебраическая структура W=⟨R⊥∞,,1,+,⋅,⟩ {\displaystyle {\mathfrak {W}}=\langle \mathbb {R} _{\perp }^{\infty },0,1,+,\cdot ,/\rangle ~}называемая «» (Wheel). Термин был взят из-за схожести с топологической картинкой проективного расширения числовой прямой и точки 0/0. Внесенные изменения превращают эту алгебраическую систему в моноид как по операции сложения (с нулем в качестве нейтрального элемента), так и по операции умножения (с единицей в качестве нейтрального элемента). Это тип алгебры, где деление всегда определено. В частности, деление на ноль имеет смысл.

Существуют и другие алгебраические системы с делением на ноль. Например, «общие луга» (common meadows). Они чуть проще, так как не расширяют пространство, вводя новые элементы. Цель достигается как в колесах, трансформацией операций сложения и умножения, а также отказом от бинарного деления.

В программировании

Нахождение остатка от деления часто используется в компьютерной технике и телекоммуникационном оборудовании для создания контрольных чисел и получения случайных чисел в ограниченном диапазоне, например в конгруэнтном генераторе случайных чисел.

Обозначения операции взятия остатка в различных языках программирования представлены в таблице справа.
Например, в Паскале операция вычисляет остаток от деления, а операция осуществляет целочисленное деление, при котором остаток от деления отбрасывается:

78 mod 33 = 12
78 div 33 = 2

Знак остатка

Важно отметить, что операция взятия остатка в языках программирования может возвращать отрицательный результат (для отрицательного делимого или делителя). Тут есть два варианта:

• Знак остатка совпадает со знаком делимого: неполное частное округляет к нулю.
• Знак остатка совпадает со знаком делителя: неполное частное округляет к −∞{\displaystyle -\infty }, соответствует определению из начала статьи.

Если в языке есть оба типа остатков, каждому из них соответствует своя операция неполного частного. Обе операции имеют жизненный смысл.

• Есть сумма n копеек, положительная или отрицательная. Перевести её в рубли и копейки: и . Знак остатка совпадает со знаком делимого.
• Есть бесконечное клеточное поле, каждая клетка 16×16 пикселей. В какую клетку попадает точка (x, y), и каковы координаты относительно верхнего левого угла клетки? Ответ: и соответственно. Знак остатка совпадает со знаком делителя.

Как запрограммировать, если такой операции нет?

Неполное частное можно вычислить через деление и взятие целой части: q=ab{\displaystyle q=\left}, где x{\displaystyle }, в зависимости от задачи, может быть «полом» или усечением. Однако деление здесь получается дробное, которое намного медленнее целого. Такой алгоритм используется в языках, в которых нет целых типов (отдельные электронные таблицы, программируемые калькуляторы и математические программы), а также в скриптовых языках, в которых издержки интерпретации намного превышают издержки дробной арифметики (Perl, PHP).

При отсутствии команды остаток программируется как a−qb{\displaystyle a-qb}.

Если b{\displaystyle b} положительно, а знак r{\displaystyle r} совпадает со знаком делимого, не определён или неизвестен, для нахождения минимального неотрицательного остатка можно воспользоваться формулой r′=(b+(amod⁡b))mod⁡b{\displaystyle r’=(b+(a\operatorname {mod} b))\operatorname {mod} b}.

Неполное частное и неотрицательный остаток от деления на степень двойки 2n{\displaystyle 2^{n}} — это битовый сдвиг a≫n{\displaystyle a\gg n} (для чисел со знаком — арифметический) и a&⁡(2n−1){\displaystyle a\mathop {\&} (2^{n}-1)}.

Выполнение деления

Пример пошагового деления числа 8 на число 4 на числовой прямой.

Деление является гипероператором вычитания и сводится к последовательному вычитанию. :

ab=hyper-2⁡(a,b)=hyper⁡(a,−2,b)=a(−2)b=c.{\displaystyle a:b=\operatorname {hyper-2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,-2,b)=a^{(-2)}b=c.}

a(−2)b=ab=a−b−b−⋯−b⏟c.{\displaystyle a{^{(-2)}}b=a:b=a\underbrace {-b-b-\dots -b} _{c}.}

где: −b−b−⋯−b{\displaystyle -b-b-\dots -b} — последовательность операций вычитания, выполненная c{\displaystyle c} раз.

При практическом решении задачи деления двух чисел необходимо свести её к последовательности более простых операций: вычитание, сравнение, перенос и др. Для этого разработаны различные методы деления, например для чисел, дробей, векторов и др. В русскоязычных учебниках математики в настоящее время используется алгоритм деления столбиком. При этом следует рассматривать деление как процедуру (в отличие от операции).

Схема, иллюстрирующую места для записи делимого, делителя, частного, остатка и промежуточных вычислений при делении столбиком:

Деление столбиком

Из приведенной схемы видно, что искомое частное (или неполное частное при делении с остатком) будет записано ниже делителя под горизонтальной чертой. А промежуточные вычисления будут вестись ниже делимого и нужно заранее позаботиться о наличии места на странице. При этом следует руководствоваться правилом: чем больше разница в количестве знаков в записях делимого и делителя, тем больше потребуется места.

Примерный алгоритм процедуры деления натуральных чисел столбиком

Как видим, процедура достаточно сложная, состоит из относительно большого числа шагов и при делении больших чисел может занять продолжительное время. Данная процедура применима к делению натуральных и целых (с учётом знака) чисел. Для других чисел используются более сложные алгоритмы.

Арифметические действия над числами в любой позиционной системе счисления производятся по тем же правилам, что и в десятичной системе, так как все они основываются на правилах выполнения действий над соответствующими многочленами. При этом нужно пользоваться таблицей вычитания соответствующей данному основанию P{\displaystyle P} системы счисления.

Пример деления натуральных чисел в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления:

     110010│101   │    0 — 0           50800│25    │    0 — 0           CD530│A8     │    0 — 0
     101   │1010  │ -101 — 1           50   │2032  │  -25 — 1           A8   │138E   │  -A8 — 1
       10                               08         │  -50 — 2           255          │ -150 — 2
                                                │  -75 — 3           1F8          │ -1F8 — 3
       101                               80        │ -100 — 4            5D3         │ -2A0 — 4
       101                               75        │  ... — ...          540         │ -348 — 5
         00                               50                              930        │ -3F0 — 6
                                         50                              930        │ -498 — 7
          0.                               0.                               0.       │ -540 — 8
                                                                                     │ -5E8 — 9
                                                                                     │ -690 — A
                                                                                     │ -738 — B
                                                                                     │ -7E0 — C
                                                                                     │ -888 — D
                                                                                     │ -930 — E

Деление физических величин

Единица измерения физической величины имеет определённое наименование (размерность): для длины (L) — метр (м), для времени (T) — секунда (с), для массы (M) — грамм (г) и так далее. Поэтому, результат измерения той или иной величины представляет собой не просто число, а число с наименованием. Наименование представляет собой самостоятельный объект, который равноправно участвует в операции деления. При производстве операции деления над физическими величинами, делятся как сами числовые составляющие, так и их наименования.

Помимо размерных физических величин существуют безразмерные (количественные) величины, которые формально являются элементами числовой оси, то есть числами, не имеющие привязки к определённым физическим явлениям (измеряются «штуками», «разами» и тому подобное). При делении чисел представляющих собой физические величины на безразмерную величину, делимое число изменяется по величине и сохраняет единицу измерения. Например если взять 15 гвоздей и разложить в 3 коробки, то в результате деления получим 5 гвоздей в каждой коробке:

15 гв3=5 гв.{\displaystyle 15~{\text{гв}}:3=5~{\text{гв}}.}

Деление разнородных физических величин надо рассматривать как нахождение новой физической величины, принципиально отличающейся от величин, которые мы делим. Если физически возможно создание такого частного, например, при нахождении работы, скорости или других величин, то эта величина образует множество, отличное от начальных. В этом случае композиции этих величин присваивается новое обозначение (новый термин), например: плотность, ускорение, мощность и прочее.

Например, если разделить длину L=8 м {\displaystyle L=8~{\text{м}}~}на время T=2 с, {\displaystyle T=2~{\text{с}},~}соответствующие одному физическому процессу, то получится именованное число (физическая величина) соответствующее этому же физическому процессу, которая называется «скорость» и измеряется в «метрах в секунду»: V=4 м/с.{\displaystyle V=4~{\text{м/с}}.}

V=LT=8 м2 с=4  (м : с)=4 м/с.{\displaystyle V=L:T=8~{\text{м}}:2~{\text{с}}=4~~{\text{(м : с)}}=4~{\text{м/с}}.}

При описании математическими средствами физических процессов немаловажную роль играет понятие однородности, которое означает например, что «1 кг муки» и «1 кг меди» принадлежат разным множествам {мука} и {медь} соответственно и не могут быть непосредственно разделены. Также понятие однородности предполагает, что делимые величины принадлежат одному физическому процессу. Недопустимо делить, например скорость лошади на время собаки.

Размер основных типов данных в C++

Возникает вопрос: «Сколько памяти занимают переменные разных типов данных?». Вы можете удивиться, но размер переменной с любым типом данных зависит от компилятора и/или архитектуры компьютера!

Язык C++ гарантирует только их минимальный размер:

Фактический размер переменных может отличаться на разных компьютерах, поэтому для его определения используют оператор .

Оператор sizeof — это унарный оператор, который вычисляет и возвращает размер определенной переменной или определенного типа данных в байтах. Вы можете скомпилировать и запустить следующую программу, чтобы выяснить, сколько занимают разные типы данных на вашем компьютере:

#include <iostream>

int main()
{
std::cout << «bool:\t\t» << sizeof(bool) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «char:\t\t» << sizeof(char) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «wchar_t:\t» << sizeof(wchar_t) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «char16_t:\t» << sizeof(char16_t) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «char32_t:\t» << sizeof(char32_t) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «short:\t\t» << sizeof(short) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «int:\t\t» << sizeof(int) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «long:\t\t» << sizeof(long) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «long long:\t» << sizeof(long long) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «float:\t\t» << sizeof(float) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «double:\t\t» << sizeof(double) << » bytes» << std::endl;
std::cout << «long double:\t» << sizeof(long double) << » bytes» << std::endl;
return 0;
}

Вот результат, полученный на моем компьютере:

Ваши результаты могут отличаться, если у вас другая архитектура, или другой компилятор

Обратите внимание, оператор не используется с типом void, так как последний не имеет размера

Если вам интересно, что значит в коде выше, то это специальный символ, который используется вместо клавиши TAB. Мы его использовали для выравнивания столбцов. Детально об этом мы ещё поговорим на соответствующих уроках.

Интересно то, что — это один из 3-х операторов в C++, который является словом, а не символом (ещё есть  и ).

Вы также можете использовать оператор  и с переменными:

#include <iostream>

int main()
{
int x;
std::cout << «x is » << sizeof(x) << » bytes» << std::endl;
}

Результат выполнения программы:

На следующих уроках этой главы мы рассмотрим каждый из фундаментальных типов данных языка С++ по отдельности.

Формы записи и терминология

Умножение записывается с использованием знака умножения (∙, ×, ∗) между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак умножения является бинарным оператором. Знак умножения не имеет специального названия, тогда как, например, знак сложения называется «плюс».

Самый старый из используемых символов — диагональный крестик (×). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде приподнятой точки (∙). Этот символ он использовал в письме 1698 года.
Йоханн Ран ввёл звёздочку (∗) в качестве знака умножения, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г.

В российских учебниках математики в основном используется знак в виде приподнятой точки (∙). Звёздочка (∗) используется, как правило, в текстах компьютерных программ.

Результат записывается с использованием знака равенства «={\displaystyle =}», например:

a⋅b=c{\displaystyle a\cdot b=c}

6⋅3=18{\displaystyle 6\cdot 3=18} («шесть умножить на три равно восемнадцать» или «шестью три — восемнадцать»).

Часто в математических выражениях знак умножения опускается (не записывается), если это не вызывает неоднозначного прочтения. Например вместо y=6⋅x+3⋅z{\displaystyle y=6\cdot x+3\cdot z} пишется y=6x+3z{\displaystyle y=6x+3z}. Как правило, знак умножения опускают, если одним из сомножителей является однобуквенная переменная, функция или выражение в скобках: b2−4ac{\displaystyle b^{2}-4ac}, nsin⁡x{\displaystyle n\sin x}, a(b+c){\displaystyle a(b+c)}.

Традиционно при записи произведения нескольких сомножителей числа записывают перед переменными, а переменные перед функциями. Так, выражение n⋅sin⁡x⋅5⋅m{\displaystyle n\cdot \sin x\cdot 5\cdot m} будет записано как 5nmsin⁡x{\displaystyle 5nm\sin x}.

Формы записи и терминология

Символы деления в математике

Деление записывается с использованием одного из «знаков деления» — «÷, , , −{\displaystyle \div ,~/,~:,~-}» между аргументами, такая форма записи называется инфиксной нотацией. В данном контексте знак деления является бинарным оператором. Знак деления не имеет специального названия, как например знак сложения, который называется «плюс».

• Самый старый из используемых символов видимо — косая черта (/). Впервые его использовал английский математик Уильям Отред в своём труде «Clavis Mathematicae» 1631 г.
• Немецкий математик Лейбниц предпочитал знак в виде двоеточия (:) Этот символ он использовал в своём труде Acta eruditorum 1684 г. До Лейбница этот знак был использован англичанином Джонсоном в 1633 году в своей книге, но как знак дроби, а не деления в узком смысле.
• Йоханн Ран ввёл знак обелюс (÷) в качестве знака деления, она появилась в его книге «Teutsche Algebra» 1659 г. Знак Рана часто называют «английским знаком деления».

В русскоязычных учебниках математики в основном используется знак в виде двоеточия (:). Косая черта (/) используется в компьютерной нотации. Результат записывается с использованием знака равенства «={\displaystyle =}», например:

ab=c{\displaystyle a:b=c} ;

63=2{\displaystyle 6:3=2} («шесть разделить на три равно два») ;

655=13{\displaystyle 65:5=13} («шестьдесят пять разделить на пять равно тринадцать») .

В математических выражениях часто в качестве знака деления используется дробная черта. На письме знак деления очень похож на другие письменные символы. Следует внимательнее разбирать выражение, чтобы не возникло ошибочной идентификации символа.